高数笔记

高等数学

数列理论

• 夹逼准则：若$y_n\leq x_n\leq z_n$，且$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}y_n=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}z_n=c$，则$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x_n=c$

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$

• 重要的不等式:

  1.$a^{n}>\frac{n^2(a-1)^2}{4}(n\ge2)$

  2.$2^n>\frac{n(n-1)}{2}(n>2)$

  3.$0<|\frac{a^n}{n!}|<\frac{(2|a|)^k}{2^n}$(k为任意大于2|a|的正整数，n>k)

  4.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1(1中a=\sqrt[n]{n}易得)$

  5.$n!\ge\frac{1}{2}n^{\frac{n}{2}}$（数学归纳法）

  6.$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{log_an}{n}=0$

  7.$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（数学归纳法）

  8.$n!>\frac{1}{2^{n-1}}(n>2)$